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COURS DE CRISTALLOGRAPHIE TANGOUR BAHOUEDDINE Professeur lIPEIEM CHAPITRE I PRIODICIT DE LA MATIERE CRISTALLINE 1-LA STRUCTURE DES CRISTAUX Les formes gomtriques rgulires des cristaux ont

attirs l'attention des observateurs depuis trs longtemps et furent l'origine de l'ide d'une microorganisation de la matire. La dtermination de la structure des cristaux (cristallographie) se base sur la spectroscopie de diffraction des rayons X comme l'outil le plus utilis actuellement. 2-MAILLE et RESEAU Un rseau est dfini par un espace trois dimensions dtermines par trois vecteurs , ,

La maille est le volume le plus simple qui reprsente l'ensemble du cristal. C'est gnralement le volume dtermin par , , . Chaque point du rseau s'appelle nud Maille lmentaire ou simple MAILLES MULTIPLES On utilise des mailles multiples de la plus simple quand ceci permet de mettre en vidence des symtries qui autrement ne

seraient pas visibles 3-MOTIF Un motif est constitu par le plus petit schma discernable dont la position se rpte par une translation d'un multiple entier de chacun des vecteurs ou d'une combinaison linaire des trois vecteurs =n +m +p

En chimie le motif est constitu dun ensemble dentits chimiques (atomes, ions ou molcules) appel aussi groupement formulaire qui reprsente aussi la formule statistique du cristal en question Motifs dans un rseau plan 4-POSITION DES NUDS Le paralllpipde le plus simple construire dans lespace partir de ces trois vecteurs se dfinit par la donne des grandeurs de ces vecteurs et des angles quils forment entre eux et qui sont:

=( , ) =( , ) et =( , ) Tous les motifs placs aux sommets de la maille lmentaire sont caractriss par un ensemble de coordonnes entires ou nulles places sous forme dune matrice ligne.

Contribution des motifs par maille Sommets Sommets et faces Sommets et centre Sommets,centre,faces et artes Nombre de motifs par maille(suite) On note par ngf le nombre de groupes formulaires par maille (not Z en

gnral). Position du motif contribution extrieure 0 sommet 1/8

arte 1/4 face 1/2 Centre (intrieur) 1

5- MAILLES DE BRAVAIS Une maille lmentaire est dite unitaire si elle ne comporte quun seul motif. Le mode de rseau correspondant est dit mode simple ou primitif et reprsent par la lettre P Une maille lmentaire qui comporte plusieurs motifs est dite multiple. On dfinit une nouvelle relation de translation dont les coefficients sont demi-entiers ou nuls. = n + m + p MAILLES DE BRAVAIS(suite)

On introduit 3 mailles multiples appeles mailes de BRAVAIS: Mode centr : Il contient 2 motifs, placs lorigine (0,0,0) et au centre (, , ). Il est not par la lettre I. Mode base centre : Il contient 2 motifs, placs lorigine (0,0,0) et aux centres de 2 faces opposes (, , 0) ou (0, , ) ou (,0, ). Il est not S. Mode faces centres : Il contient 4 motifs, placs lorigine (0,0,0) et aux centres des faces (, , 0) et (0, , ) et (,0, ). Il est not F. 6-MASSE VOLUMIQUE La connaissance des paramtres cristallins et du nombre de motifs par maille permet de calculer une grandeur caractristique du compos qui

est sa masse volumique , rapport entre une certaine masse de la substance et son volume. Dsignons par : M= Masse atomique ou molculaire du groupement formulaire V= le volume de la maille ngf = nombre de groupement formulaire par maille NA = Nombre dAvogadro Alors on a lexpression suivante pour la masse volumique 7-RANGEES (RETICULAIRES ou NODALES) Une range est une droite qui passe par des noeuds du rseau. Il en existe une infinit de droites parallles un mme vecteur

Une range est dfinie par ses indices nots entre crochets [u v w] o u, v, w sont des nombres entiers. Ils reprsentent les coordonnes du premier atome rencontr partir de lorigine. Les indices d'une range, nombres premiers entre eux , dfinissent une famille de droites toutes parallles entre elles. APPLICATION Soit un rseau datomes deux dimensions dfini par deux vecteurs quelconques. chaque nud du rseau et uniquement l se trouve un atome. Un nud est dfini par des coordonnes entires x et y. Ce rseau prsente des alignements d'atomes appels ranges rticulaires. On a des droites parallles qui passent par les points suivants:

(0,2) (1,2) (0,1) (2,2) (1,1) (0,0) et (3,2) Comme on caractrise une famille par les coordonnes du premier point rencontr

sur la droite passant par lorigine, cest le point de coordonnes (3,2) pour lexemple tudi. Cette famille sera note [3,2] entre crochets. 8-PLANS RETICULAIRES Un plan cristallographique (ou plan rticulaire) est un plan dtermin par les noeuds qu'il contient. On le dfinit par ses indices de Miller nots entre parenthse (hkl). Imaginons un plan qui coupe les axes du repre quelconque en trois noeuds du rseau A, B, C. Les units choisies sur les trois axes sont a, b et c ; on peut crire : OA = x.a OB = y.b OC = z.c

Les coordonnes de A sont x,0,0 ; celles de B sont 0,y,0 et celles de C sont 0,0,z. o x, y, z sont des entiers. Prenons leurs inverses 1/x, 1/y, 1/z et multiplions les par leur plus petit commun multiple. On obtient trois nombres premiers entre eux h,k,l qui sont les indices de Miller du plan considr. PLANS RETICULAIRES(exemple) On aura un plan passant par les nuds suivants: (4,0,0) (0,3,0) et (0,0,6) Le plus petit commun

multiple est 12. h= 12/4 = 3 k= 12/3 = 4 l= 12/6 = 2 PLANS RETICULAIRES(suite) On peut trouver directement les valeurs des indices de Miller comme les inverses des coordonnes dintersection de la premire range nodale avec les axes: A = (1/h , 0 , 0 ) B=(0 , 1/k , 0 ) C=(0 , 0 , 1/l)

La distance rticulaire, note dhkl, correspond la distance de lorigine au 1er plan rticulaire. PLANS RETICULAIRES(fin) 10-DIFFRACTION DES RX Tout atome de matire atteint par une onde X voit ses lectrons entrer en vibration la mme frquence que l'onde et il met son tour une onde lectromagntique de mme longueur d'onde. On parle aussi de diffusion cohrente.

Soient deux atomes A et B irradis par un faisceau monochromatique, d'une onde lectromagntique d'une longueur d'onde de mme ordre de grandeur que la distance entre ces deux atomes. (Domaine des Rayons X). Les atomes irradis vont se comporter comme des sources et du fait de la nature ondulatoire des rayons X, provoquer des interfrences "lumineuses". Le cristal tout entier se comporte comme un rseau optique trois dimensions. RELATION DE BRAGG

= Diffrence de marche= CB+BD= 2dsin. Les intensits sont maximum pour =n. 2d sin =n FORMULE de BRAGG avec d distance entre les plans rticulaires dfinis par hkl et n un entier qui repre lordre de la diffraction. APPLICATION Pour une maille cubique darte a

Pour une maille paralllpipdique de cts a, b et c

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