ECONOMETRIE - moodle.umontpellier.fr

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Chapitre X : Variables instrumentales X.1. Lestimateur par variables instrumentales (VI) X.2. Lestimateur des doubles moindres carrs (DMC). X.3. Un exemple simul. X.4. Exemple : une quation de salaire Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 1 X.1. Lestimateur par Variables Instrumentales (VI) Rfrences : GREENE [2011] : Chapitre 5 CREPON-JACQUEMET [2010] : Chapitre 11 a) Non convergence de lestimateur MCO Problme de corrlation entre les rgresseurs et les erreurs Remise en cause de lhypothse H3 : endognit des variables explicatives ( ) Dans ce cas lestimateur MCO nest pas convergent : 1 ^

= + avec = ( Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) ) 2 Prenons le modle de rgression linaire simple (1 seule variable explicative avec variables centres) : . Lestimateur des MCO : x b y e = Effet direct ^ Si maintenant on suppose une corrlation entre et : x b y

e Benot MULKAY Universit de Montpellier = + ^ Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 3 b) Sources de la non-convergence de lestimateur MCO 1) Omission dune variable pertinente () Vrai modle = + + Modle estim = + Mme si est non corrl avec et , il suffit que et soit corrl (avec ) pour quil y ait une corrlation entre et . lestimateur MCO nest pas convergent.

Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 4 2) Erreur de mesure sur les variables = + avec ( | )=0 Vrai modle Mais la variable explicative est mesur avec des erreurs. On observe plutt la variable : Le vrai modle devient alors : = + ( ) alors que le modle estim est : = + Mais il y a une corrlation entre et : lestimateur MCO nest pas convergent. Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020)

5 Dans ce cas, le biais (asymptotique) sera : 2 ( ) ^ = + = 1 2 2 2 + ( ) ( parce que : { ) 2 ( )= 2 2 ( )= ( ) + ( 2 ) = 2 + 2

Le biais rduit la paramtre estim : il tend vers zro. Il y a donc sous-estimation du vrai . Ce biais dpend du ratio signal sur bruit : . Plus ce ratio est faible, plus le biais est important Par exemple, si , alors . Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 6 3) Biais de simultanit Certains rgresseurs sont dtermins simultanment avec la variable dpendante. Exemple : modle offre demande. = + + = + + Demande Offre = = Equilibre du march Dtermination simultane du prix et de la quantit change . En rsolvant le systme, le prix dquilibre sera : Le prix est affect par les chocs sur la demande et sur loffre . Donc si on estime lquation de demande : , le rgresseur du prix est corrl avec lerreur parce que : . lestimateur MCO nest pas convergent. Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1)

Chapitre 10 (2019 2020) 7 b) La notion de variables instrumentales Pour viter lendognit des variables explicatives du fait dune corrlation entre et : Premire solution : exprience contrle ou naturelle Deuxime solution : trouver des variables corrles avec les rgresseurs , mais indpendante de lerreur : z x b y e Ces variables sont appeles instruments ou variables instrumentales . Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 8 Les variables instrumentales sont corrles avec uniquement travers , mais pas via le terme derreur sinon il faudrait inclure dans les variables explicatives du modle. Donc dans le cas du modle de rgression linaire : est un instrument (une variable instrumentale) si 1) est corrl avec le rgresseur 2) est non corrl avec lerreur . La condition (2) exclut que z soit une variable explicative du modle !

Sinon := + = += + + Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 9 c) Lestimateur par variables instrumentales On considre maintenant le modle de rgression multiple avec certains rgresseurs corrls avec le terme derreur : Comment obtenir un estimateur convergent de ? On suppose que lon a une matrice contenant instruments (1) corrls avec les variables explicatives (2) non corrls avec les erreurs. peut contenir les variables explicatives exognes (non corrles avec ) qui se trouvent dans ! (par exemple la constante, une tendance, ) (ou des variables prdtermines si les erreurs sont indpendantes) On peut prmultiplier le modle par la transpose de : Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 10 Ensuite on divise partout par N , et on prend les limites en probabilit de chaque lment :

= + . parce que les instruments ne sont pas corrls avec les erreurs. En consquence : = ( ) 1 ( ) Ds lors, lestimateur par variables instrumentales (VI) sera : ^ = ( ) Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1)

Chapitre 10 (2019 2020) 11 ^ ( ^ ) = Lestimateur VI est convergent : si = et = La matrice de variance-covariance (asymptotique) de cet estimateur VI sobtient de manire similaire celle de lestimateur MCO : 1 1 (^ )=( ) ( ) avec la matrice de variance-covariance des erreurs. En cas dhomoscdasticit et dabsence dautocorrlation : , la matrice de variancecovariance de lestimateur VI devient : 1 1 2 (^ )= ( ) ( )

Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 12 Drivation alternative de lestimateur VI On veut estimer un modle de rgression linaire : . Mais lhypothse H3 nest plus vrifie : Les variables instrumentales ne sont pas corrls avec lerreur : . Ces esprances sont appeles : des conditions dorthogonalit, des restrictions de moments. Ces restrictions de moment concernent la population statistique. On va les calculer sur un chantillon de observations : 1 1 ( ) = = ( ^ )= =1 =1 Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 13

Il suffit alors de rsoudre ce systme pour obtenir lestimateur par variables instrumentales : 1 ( ) ^ = =1 1 =( ) =1 On appelle cette mthode : une mthode des moments et donc lestimateur par variables instrumentales est un estimateur de la mthode des moments Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 14 X.2. Lestimateur des doubles moindres carrs (DMC) Rfrences :

GREENE [2011] : Chapitre 5 CREPON-JACQUEMET [2010] : Chapitre 11 a) Les doubles moindres carrs Lestimateur VI ncessite quil y ait exactement autant de variables instrumentales dans que de rgresseurs dans . Que se passe-t-il si on dispose de davantage dinstruments que de variables explicatives K dans le modle ? Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 15 Supposons quon ait R K instruments qui satisfont les conditions de corrlation avec : ( )= = = et de non corrlation avec : ( ) = Comment obtenir un estimateur avec ces variables instrumentales supplmentaires? Lide est de retenir les K combinaisons linaires de les plus corrles avec , cela se fait en rgressant les variables explicatives sur les variables instrumentales : ^ =( )1 = + Attention, cest une rgression multivarie avec plusieurs variables dpendantes.

Les paramtres sont dans une matrice de dimension : . Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 16 On calcule alors la prvision des au moyens des variables instrumentales : ^ ^ = ( )1 = avec = ( )1 = est une matrice de projection, symtrique et idempotente. On effectue une projection orthogonale des colonnes de dans lespace des variables instrumentales . Comme on a maintenant une matrice de K combinaisons linaires des variables instrumentales, on remplace par cette matrice non-corrles avec lerreur par dfinition estimateur des doubles moindres carrs (DMC) two-stage least squares (2SLS) Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 17 Le modle devient : Lestimateur des MCO de ce modle est appel lestimateur des doubles moindres carrs (DMC) : 1

^ ^ ^ ^ = 2 =( ) ^ ou encore, avec : 1 1 ^ 2 =( ) =( ) 1 1 1 ^ 2 =( ( ) ) ( ) Cet estimateur DMC (2SLS) est convergent parce que les rgresseurs projetts sont par construction non-corrls avec le terme derreurs ! Remarquez aussi que sil y a autant dinstruments que de variables explicatives, , la matrice est carre. On aura alors : 1 1 1 1

^ 2 =( ( ) ) ( ) =( ) = ^ Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 18 Drivation alternative de lestimateur DMC 2SLS Comme prcdemment, lestimateur des doubles moindres carrs est un estimateur de la mthode des moments. Ici on a R K variables instrumentales qui satisfont les R conditions dorthogonalit : qui sont les restrictions de moments . Sur lchantillon de observations : 1 1 ( ) = = ( ) = =1 =1 on a un systme de R quations linaires inconnues () avec Il y a davantage dquations que dinconnues, ce qui implique quil ny a pas de

solution ce systme sur-identifi si . ( )= > . =1 Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 19 On va essayer de rendre la somme la plus proche possible du vecteur nul. On va prendre la distance : min ( ) ( ) =min ( ) Mais on a un meilleur estimateur si on pondre la distance par : 1

1 min ( ) ( ) ( ) =min ( ( ) ) Avec , la minimisation donne lestimateur des doubles moindres carrs : 1 1 1 ^ 2 =( ( ) ) ( ) Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 20 Proprits de lestimateur DMC 2SLS : 1 1

1 ^ 2 =( ( ) ) ( ) Cet estimateur est convergent : Cet estimateur DMC 2SLS est asymptotiquement normalement distribu : 2 ) ( , ) (^ La matrice de variance-covariance asymptotique si les erreurs sont htroscdastiques et/ou autocorrles : : 1 1 1 1 1 1 ^ ( 2 )= ( ( ) ) ( ( ) ( ) )( ( ) )

qui peut tre estime par : 1 1 1 ^ ( )1 )( ( )1 )1 ^ (^ 2 )= ( ( ) ) ( ( ) 1 2 ^ ^ = = et =

2 =1 Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 21 f) Le test de spcification de Hausman Peut-on tester lexognit des rgresseurs ? Test de Durbin Wu Hausman Test de spcification de Hausman James DURBIN [1954] : Errors in Variables , Review of International Statistical Institute, 22, p. 23-31. De-Min WU [1973] : Alternative Tests of Independance Between Stochastic Regressors and Disturbances , Econometrica, 41, p. 733-750. Jerry A. HAUSMAN [1978] : Specification Tests in Econometrics , Econometrica, 46(6), p. 1251-1271. Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020)

22 On veut comparer 2 estimateurs : lestimateur MCO lestimateur par VI qui tient compte de la possible endognit des variables Sil y a endognit : lestimateur MCO est non-convergent lestimateur par VI reste convergent les deux estimateurs ont une plim diffrente ! Sinon (pas dendognit) : lestimateur MCO est convergent lestimateur par VI est convergent les deux estimateurs ont la mme plim ! On va utiliser la diffrence entre les deux estimateurs pour effectuer un test dendognit des rgresseurs Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 23 Plus rigoureusement : { 0 : ^ = ^ : ^ ^ 1

pas dendognit (MCO) endognit (VI) La diffrence entre les 2 estimateurs aura pour distribution sous : ^ ) ( , ) (^ Jerry HAUSMAN (1946 - ) a propos en 1978 la statistique de test de lendognit : 1 = ( ^ ^ ) ( ^ ^ ) qui est suit asymptotiquement une loi du Khi-deux sous lhypothse nulle , avec le nombre de variables endognes dans . Comment calculer la matrice de variance VH ? = ( ^ ^ ) = ( ^ ) + ( ^ ) 2 ( ^ , ^ ) Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020)

24 Les variances des estimateurs sont facilement calculables, Mais si lestimateur MCO est pleinement efficace sous lhypothse nulle, alors la covariance devient (voir la dmonstration dans larticle de Hausman) : ( ^ , ^ ) = ( ^ ) Cela implique : = ( ^ ) ( ^ ) et le test de Hausman devient : 1 ^ ^ ^ ^ = ( ) ( ( ) ( ) ) ( ^ ^ ) ou encore : 1 ^ ^ ^ ^ = ( ) ( ( ) ( ) ) ( ^ ^ )

On utilise donc les matrices de variances-covariances asymptotiques des 2 estimateurs MCO et VI. Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 25 Si la statistique est suprieure au quantile de la distribution du Khi-deux degrs de libert : alors on rejette lhypothse nulle : il y a endognit de certains rgresseurs lestimateur des MCO nest pas convergent il faut utiliser lestimateur des VI ! Mais rien nassure que la diffrence de variances dans le test de Hausman soit dfinie-positive la forme quadratique peut tre ngative !!! Il faut faire attention : que lestimateur VI doit tre pleinement efficace, que le test dHausman peut avoir une faible puissance que cela reste un test asymptotique Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 26 Forme alternative du test de Hausman propose par Wu. On effectue la rgression par MCO : avec : le vecteur ou la matrice des rsidus

de la rgression des variables endognes sur les instruments : ^ ( )1 = ^ = + ^ = = ^ = ^ Dans cette rgression augmente par MCO : ( dmontrer en exercice ) Cela revient enlever du modle la partie des variables explicatives qui est affecte par le problme dendognit ! On fait le test de significativit conjointe des paramtres des variables dans cette rgression augmente Sous lhypothse nulle dabsence dendognit, la statistique de test est distribue selon une loi . On peut montrer que cette statistique de test est aussi : . Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 27 g) Le problme des instruments faibles Pour les estimateurs par variables instrumentales, on doit faire attention la non-corrlation entre les instruments et les erreurs validit des instruments Mais pour avoir des bonnes estimations, il faut une forte corrlation entre les instruments et les variables explicatives pertinence des instruments Avec une faible corrlation entre et : imprcision de lestimateur (grande variance) manque de robustesse de lestimateur biais dans les petits chantillons

Problme des instruments faibles !!! Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 28 Dans le cas le plus simple : rgression simple sans constante avec un seul instrument : . les variables sont centres les erreurs sont i.i.d. 1 1 2 ^ =( ) ( ) = ( ^ )= ( ) 1 1 1 2

^ =( ) ( )= ( ^ ) = ( ) ( ) ( ) La variance asymptotique de lestimateur VI se rcrit : 2 2 (^ ) ( ) ( ) ( )( ) ^ ( )= = = / = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Si la corrlation entre et tend vers zro () : la variance de lestimateur VI tendra vers linfini !!!

(^ )= Benot MULKAY Universit de Montpellier (^ ) 2 Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 29 X.3. Un exemple simul a) Un exemple artificiel On construit le modle de la manire suivante 1) On tire au hasard une valeur de dans une loi normale : . 2) On tire au hasard et indpendamment de un vecteur de 2 variables alatoires normales desprance nulle, de variance unitaire, mais corrles entre elles avec une corrlation de 0,8 : 3) On construit la variable explicative de manire quelle soit corrles avec z et avec e : 4) La variable dpendante est obtenue avec le vrai modle : Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 30 Dans notre exemple, on va gnrer un seul chantillon de observations indpendantes avec les paramtres :

=0.0 = 0.5 + = 0.5 { = 0.5 + { =0.0 =0.5 Il est vident que est corrl avec , parce que dpend de qui est corrl avec (avec une corrlation de 0.8) parce que : Il est aussi vident que est corrl avec , mais que peut servir de variable instrumentale parce que nest pas corrl avec . Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 31 Simulation : MCO vs. VI (= 0.0) (= 0.5) 2 R R2 OLS IV 2SLS -0.4465

0.0256 0.0256 (0.0525) (0.0670) (0.0904) 0.7294 0.5001 0.5001 (0.0202) (0.0202) 0.5684 0.5684 (0.0287) (0.0287) 0.5122 0.5122 (0.0390) (0.0390) 0.5122 0.5122 Coefficient de la rgression de sur : 0.5165 Coefficient de la rgression de sur : 1.0328 1 ( ) 0.5165

^ = = = =0.5001 ( )1 1.0328 Test de Hausman : avec Corrlation entre sur : . Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 32 X.4. Une quation de salaire conomie du travail Dterminants du salaire individuel Rendements de lducation ? Effets de lanciennet ? Thomas MROZ [1987] : The sensitivity of an empirical model of married womens hours of work to economic and statistical assumptions , Econometrica, 55(4), p. 765-799. Donnes amricaines : Panel Study on Income Dynamics (PSID) de l University of Michigan Femmes maries entre 30 et 60 ans 428 en situation de travail en 1975 (sur 753) Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1)

Chapitre 10 (2019 2020) 33 log ( ) = 1 + 2 + 3 2 + 4 + : : Salaire (en $) Average Hourly Earnings : Nombre dannes dducation Anciennet actuelle sur le march du travail (en annes) Dans cette quation, on peut supposer quune variable inobservable : capacit , talent , intelligence , se trouve dans le terme derreur. Elle doit influencer le salaire obtenu par la femme, mais aussi son niveau dducation lducation () est endogne (corrle avec ) ! Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 34 Variables Instrumentales pour lducation de la femme : le niveau dducation des parents ( et ) le niveau dducation du mari () Est-ce de bons instruments ? Pourquoi ? Estimation de lquation de premire tape des doubles moindres carrs (cartstype entre parenthses)

=5.538 +0.0374 +0.0006 2 + ( 0.460 ) ( 0.034 ) ( 0.0010 ) +0.114 h +0.106 h +0.375 h ( 0.031 ) ( 0.030 ) ( 0.030 ) 2 =0.4286 et =104.29( = 0.0000) Benot MULKAY Universit de Montpellier Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020) 35 Rsultats des estimations CONSTANT EXPER EXPERSQ EDUC Benot MULKAY Universit de Montpellier OLS 2SLS -0.52204 (.19863) -0.18686 (.28540)

[.20071] [.29985] 0.04157 (.01318) 0.04310 (.01327) [.01520] [.01524] -0.00081 (.00039) -0.00086 (.00040) [.00042] [.00042] 0.10749 (.01415) 0.08039 (.02177) [.01316] [.02160] Economtrie (M1) Chapitre 10 (2019 2020)

Paramtres estims en gras, Ecarts-type classiques entre parenthses, Ecarts-type robuste lhtroscdasticit entre crochets. Test de Hausman : avec !!! 36

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