Logika Matematika

Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA Oleh BUDIHARTI, S.Si. Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid. Ada dua macam penalaran, yaitu: penalaran deduktif dan penalaran induktif. Penalaran deduktif Penalaran deduktif adalah penalaran yang

didasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola penalaran tertentu. Contoh: Premis 1: Semua mahasiswa baru mengikuti OSPEK. Premis 2: Wulandari adalah mahasiswa baru. Kesimpulan : Wulandari mengikuti OSPEK.

Penalaran induktif Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum. Contoh: Premis 1 : Ayam-1 berkembang biak dengan telur. Premis 2 : Ayam-2 berkembang biak dengan telur. Premis 3 : Ayam-3 berkembang biak dengan telur. Premis 4 :

Ayam-4 berkembang biak dengan telur. : : : Premis 50 : Ayam-50 berkembang biak dengan telur. Kesimpulan : Semua ayam berkembang biak dengan telur. Logika Matematika Logika Matematika/Logika Simbol ialah Logika

yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol. Keuntungan/ kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana. Logika mempelajari cara penalaran manusia, sedangkan penalaran seseorang diungkapkan dalam bahasa berupa kalimat-kalimat. Dengan demikian logika mempelajari kalimat-kalimat yang mengungkapkan atau merumuskan penalaran manusia. PERNYATAAN

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah). Pernyataan yang tidak mengandung kata hubung kalimat disebut pernyataan primer/pernyataan tunggal/pernyataan atom, sedangkan pernyataan yang mengandung satu atau lebih kata hubung kalimat disebut pernyataan majemuk. PERNYATAAN Contoh: 1. Bangkok adalah ibukota Thailand. 2. 9 adalah bilangan genap.

3. Badak itu memiliki gading. 4. 3 lebih tua daripada 5 5. Setahun terdiri dari 52 minggu. 6. 8 + 4 = 12 7. Mengapa kamu menangis? 8. 3 > 5 9. Ambilkan aku kue itu! 10.Semoga kamu lekas sembuh! Selidikilah kalimat-kalimat tersebut ! PERNYATAAN Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai

nilai kebenaran B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah). Catatan: Nilai kebenaran suatu pernyataan kadangkadang ditulis dengan lambang angka 1 atau 0. Angka 1 ekuivalen dengan nilai kebenaran B, sedangkan angka 0 ekuivalen dengan nilai kebenaran S. Lambang nilai kebenaran 1 dan 0 biasanya digunakan untuk menganalisis suatu jaringan listrik PERNYATAAN Kebenaran suatu pernyatan dibedakan menjadi

dua, yaitu: a)Kebenaran faktual, yaitu kesesuaian antara isi peryataan dan fakta sesungguhnya. b)Kebenaran logis, yaitu kesesuaian dengan aturanaturan logika. Dalam ilmu pengetahuan kita selalu berbicara mengenai obyek-obyek yang terbatas, tidak mengenai segala sesuatu. Keseluruhan obyekobyek (terbatas) yang menjadi bahan pembicaraan yang sedang kita lakukan disebut semesta pembicaraan atau semesta saja dan disingkat S. PERNYATAAN Untuk membicarakan anggota-anggota dari semesta biasanya digunakan lambang. Ada dua

macam lambang, yaitu: a)Konstanta, adalah lambang yang digunakan untuk menunjuk atau membicarakan anggota tertentu dari semesta. b)Peubah, adalah lambang yang digunakan untuk menunjuk atau membicarakan anggota yang tidak tertentu (sembarang) dari semesta. Peubah bilangan dan disajikan dengan hurufhuruf kecil x,y,z Peubah pernyataan dan disajikan dengan hurufhuruf kecil p,q,r dst. Kalimat terbuka Kalimat terbuka ialah kalimat yang memuat peubah, sehingga belum dapat di tentukan nilai kebenarannya.

Kalimat semacam ini masih terbuka untuk menjadi pernyataan yang benar atau yang salah. Contoh: a. x adalah bilangan bulat. b. x + 2 > 10 c. x2 -3x + 5 = 0 d. y = 2x + 1 Kita dapat mengubah suatu kalimat terbuka menjadi peryataan dengan mengganti (mensubstitusikan) semua peubah yang termuat di dalamnya dengan konstanta dari semestanya. Pernyataan yang dihasilkan bisa bernilai benar, bisa bernilai salah. Kalimat terbuka

Himpunan penyelesaian dari suatu kalimat terbuka ialah himpunan semua anggota dari S yang bila lambangnya disubstitusikan ke dalam peubah dari kalimat terbuka itu akan menghasikan pernyataan yang benar. Contoh: S = {Bil. Asli } a. x + 2 > 10 - H.P = {9,10,11,12,..} b. x2 x 6 = 0 (x-3) (x + 2 = 0 -- HP ={3} c. x + 1 > 0 - HP = S d. (2x-1)(x + 3) = 0 HP = { }

Himpunan penyelesaian harus memuat semua elemen dari semesta yang menghasilkan pernyataan benar. INGKARAN Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata tidak atau menyisipkan kata bukan pada p pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang

atau p atau ~p, dan dibaca: tidak p. Bila peryataan p pbernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya. INGKARAN Contoh : Jikustik adalah sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. (benar) Tidak benar bahwa Jikustik adalah sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. ( salah) Jikustik bukan sebuah kelompok band yang

berasal dari Yogyakarta. (salah) Manusia mempunyai ekor (salah) Manusia tidak mempunyai ekor ( benar) Pernyataan Majemuk Pernyataan Majemuk ialah pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan menggunakan kata hubung. Dalam Logika Matematika terdapat empat macam kata hubung, yaitu: (1) ..dan.., (2) ..atau.., (3) bila ,maka (4) .. bila dan hanya bila .

Pernyataan Majemuk Contoh : a. Yogyakarta adalah kota pelajar dan (Yogyakarta) memiliki banyak objek wisata. b. Kurnia pergi ke kampus atau ia nonton film. c. Bila air dipanaskan, maka ia akan mendidih. d. Medan ibukota Sumatera Utara bila dan hanya bila Semarang ibukota Jawa Timur. Pernyataan majemuk diatas berturut-turut disebut: konjungsi, disjungsi, implikasi, dan

ekuivalensi/biimplikasi. Pernyataan Majemuk Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh: nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan. Karena masing-masing pernyataan tunggalnya bisa bernilai benar atau salah, maka ada empat kemungkinan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung dan Kata hubung dan disajikan dengan lambang . Definisi: Suatu konjungsi bernilai benar hanya bila ke dua pernyataan tunggalnya bernilai benar. Konjungsi Contoh : a. Indonesia adalah negara Republik dan

berpenduduk 200 juta jiwa. b. Kerbau berkaki empat dan dapat terbang. c. 3 adalah bilangan genap dan habis di bagi lima. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung atau Kata hubung atau disajikan dengan lambang . Dalam Logika Matematika juga dibedakan dua macam atau Yang pertama disebut Disjungsi Inklusif (dengan

lambang ) dan yang kedua disebut Disjungsi Eksklusif (dengan lambang ). Definisi: a. Suatu disjungsi inklusif bernilai benar bila sekurangkurangnya salah satu pernyataan tunggalnya benar. b. Suatu disjungsi eksklusif bernilai benar bila salah satu (dan tidak kedua-duanya) dari pernyataan tunggalnya benar. Disjungsi p

q p q B B S B S

B S B B S S S

Disjungsi Contoh : a. Pak Hartono berlangganan harian Kompas atau Kedaulatan Rakyat. b. Anisa pergi ke perpustakaan atau ke kantin. c. 5 6 (5 kurang dari atau sama dengan 6) d. A B adalah himpunan semua elemen yang anggota himpunan A atau himpunan B. menjadi e. Bila diketahui bahwa x.y = 0, maka dapat

disimpulkan bahwa x =0 atau y = 0. Kalau tidak dikatakan apa-apa, maka dalam Matematika biasanya yang dimaksud adalah disjungsi inklusif. Implikasi Implikasi adalah peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung bila ., maka . Pernyataan tunggal yang pertama disebut anteseden dan yang kedua disebut konsekuen.

Kata hubung bila ., maka . disajikan dengan lambang Implikasi Dalam bahasa sehari-hari kita memakai implikasi dalam bermacam-macam arti, misalnya: a) Untuk menyatakan suatu syarat: Bila kamu tidak membeli karcis, maka kamu tidak akan diperbolehkan masuk. b) Untuk menyatakan suatu hubungan sebab

akibat: Bila kehujanan, maka Tono pasti sakit. c) Untuk menyatakan suatu tanda:Bila bel berbunyi, maka mahasiswa masuk ke dalam ruang kuliah. Implikasi Definisi: Suatu implikasi bernilai benar bila antesedennya salah atau konsekuennya benar (jadi suatu Implikasi bernilai salah hanya apabila anteseden benar dan konsekuennya salah).

Contoh a) Bila Anindita adalah seorang pria, maka ia akan mempunyai kumis. b) Bila bumi berputar dari timur ke barat maka matahari akan terbit disebelah barat. c) Bila berat jenis besi lebih dari satu, maka ia akan terapung dalam air. d) Bila berat jenis besi lebih besat dari satu, maka ia akan terapung dalam air. e) Bila 3 > 2, maka 6 > 4 f) Bila 3 < 2, maka 3 > 2 g) Bila x > 10, maka x > 5

Untuk mengucapkan (menyatakan ) suatu implikasi sebagai suatu pernyataan yang benar ada 3 cara . Misalnya : mengucapkan A B dengan cara: 1.Bila A, maka B 2.B bila A 3.A hanya bila B (karena bila tidak B atau B salah, maka juga tidak A atau A salah; lihat baris keempat tabel kebenaran implikasi ).

A B B juga disebut syarat perlu untuk A. (Suatu syarat disebut syarat perlu bila tidak terpenuhinya (salahnya ) syarat tersebut mengakibatkan tidak terjadinya apa yang disyaratkan ). A diatas disebut syarat cukup untuk B, karena bila A terjadi ( benar) maka B juga berjadi (benar). Lihat baris pertama tabel kebenaran implikasi. (Suatu syarat disebut syarat cukup bila terpenuhinya syarat tersebut mengakibatkan terjadinya apa yang disyaratkannya).

Implikasi Contoh: Bila x adalah bilangan genap, maka x habis dibagi 2. x habis dibagi 2 bila x adalah bilangan genap. x adalah bilangan genap hanya bila x habis di bagi 2. x habis di bagi 2 merupakan syarat perlu agar x adalah bilangan bulat x adalah bilangan bulat merupakan syarat cukup untuk x habis di bagi 2 Implikasi

Tugas 1 1.Carilah pengertian konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi. 2.Berilah contoh konvers,invers, dan kontraposisi, (2 pernyataan implikasi). qp 3. Lengkapilah tabel berikut ini! Tentukan kolom mana yang memiliki nilai kebenaran yang sama!

Ekuivalensi ( Biimplikasi) Peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung Bila dan hanya bila disebut ekuivalensi atau biimplikasi. Kata hubung tersebut disajikan dengan lambanga Definisi: Suatu ekuivalensi bernilai benar bila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai

kebenaran yang sama. Ekuivalensi ( Biimplikasi) Contoh: Suatu segitiga disebut sama kaki bila dan bila segitiga itu mempunyai dua sisi yang sama panjang (maksudnya suatu ekuivalensi:bila dan hanya bila) qp q

Tugas 2: lengkapi tabel berikut ini! Tentukan kolom mana yang memiliki nilai kebenaran yang sama!

Recently Viewed Presentations

  • Présentation PowerPoint - Eklablog

    Présentation PowerPoint - Eklablog

    bien - bon - une table - un arbre - une branche Lecture 13 pour le 1/ Lis les syllabes le plus vite possible. chau - ji - gi - ge - cheu - jeu - gen - chan -...
  • An Introduction to Poetry Terms and Types

    An Introduction to Poetry Terms and Types

    What is Poetry? Poetry is arguably the purest form of writing.Poetry is a sense of the beautiful. It is art. Like art it is very difficult to define because it is an expression of what the poet thinks and feels...
  • Common medical emergencies

    Common medical emergencies

    PARASYMPATHOMIMETICS (Cholinomimetics)This group of drugs produces pharmacological effects similar to that produced by parasympathetic stimulation Classification
  • Christ-centred families in the 21st Century

    Christ-centred families in the 21st Century

    Christ-centred families in the 21st Century 4. Nurturing and educating our children A foundation in the home I chose to have my children have a strong foundation going off to school, they learn the things of society while they are...
  • NASDSE Satellite Conference Series May 9, 2007 Response

    NASDSE Satellite Conference Series May 9, 2007 Response

    NASDSE Satellite Conference Series May 9, 2007 Response to Intervention (RtI) Non-Academic Barriers to Achievement-Addressing School-based Mental Health and Positive Behavior Interventions and Supports
  • Energy (out of) Balance

    Energy (out of) Balance

    First your body turns to glycogen to help keep your blood sugar normal. When you use your storedglycogen, you liberate the water stored with it (3g water/1g glycogen) and excrete the water. It SEEMS you are losing weight quickly when...
  • Newton&#x27;s Laws

    Newton's Laws

    Mass vs. Weight Mass is intrinsic property of any object Weight measures gravitational force on an object, usually due to a planet Weight depends on location of object Question 1: How does mass of a rock compare when on Earth...
  • Boom - Cartoon pop art template

    Boom - Cartoon pop art template

    What is a Storyboard?! Do Now Take out your essay and Rubric. Place it at the corner of your desk to be collected. Staple this weeks Do Now Sheet into your interactive notebook (page 28 ) 3.