Logika Matematika

Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA A.Pernyataan (Kalimat Tertutup) 1. Pernyataan Pernyataan atau kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tidak sekaligus bernilai benar dan salah. Suatu pernyataan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, seperti: p, r, r, s, dan sebagainya. By Widiharti, S.Pd.

2. Nilai Kebenaran dari Suatu Pernyataan Nilai benar atau nilai salah dari suatu pernyataan disebut nilai kebenaran. Nilai kebenaran dapat ditentukan dengan cara empiris dan cara nonempiris. a. Cara empiris adalah cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berdasarkan fakta pada saat itu (bergantung pada ruang dan waktu). b. Cara nonempiris adalah cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berdasarkan bukti-bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika (kebenarannya bersifat mutlak). By Widiharti, S.Pd.

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf Yunani, yaitu (dibaca tau) yang berasal dari kata asing truth berarti kebenaran. Suatu pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran B (benar), sedangkan suatu pernyataan yang salah memiliki nilai kebenaran S (salah), misal: p : hasil kali 3 dan 5 adalah 15. Pernyataan p benar, sebab 3 x 5 = 15. Dengan demikian pernyataan p memiliki nilai kebenaran B (benar), ditulis (p) = B. By Widiharti, S.Pd.

3. Ingkaran (Negasi dari Suatu Pernyataan) Ingkaran (negasi) dari suatu pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari pernyataan semula sedemikian sehingga jika pernyataan semula bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah, dan jika pernyataan semula bernilai salah, maka ingkarannya bernilai benar. Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan dengan ~p. By Widiharti, S.Pd.

Tabel kebenaran yang menunjukkan hubungan antara pernyataan p dan ingkarannya ~p adalah sebagai berikut: Ingkaran pernyataan p (~p) dapat diperoleh dengan cara menambahkan kalimat tidak benar bahwa didepan pernyataan p, atau dengan menyisipkan kata tidak atau bukan di dalam pernyataan p. By Widiharti, S.Pd.

4. Kalimat Terbuka Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah) karena mengandung variabel. Suatu kalimat terbuka dengan variabel x dilambangkan oleh p(x), q(x), r(x), dan sebagainya. misalkan p(x) : 2x + 1 = 5, x R apabila variabel x pada p(x) diganti dengan bilangan 2, maka: p(2) : 2(2) + 1 = 5 (benar) kalimat terbuka p(x) menjadi penyataan yang bernilai benar.

Apabila variabel x pada p(x) diganti dengan bilangan selain 2, misal 1, maka: P(1) : 2(1) + 1 = 5 (salah) Kalimat terbuka p(x) menjadi pernyataan yang bernilai salah By Widiharti, S.Pd. Contoh Soal: 1. Kalimat berikut ini merupakan pernyataan, kecuali .... A. Banyaknya titik sudut suatu segitiga adalah 3

B. Matahari terbit dari sebelah barat C. Satu minggu terdiri atas 7 hari D. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil E. Jumlah dari tiga buah bilangan yang sama adalah 15 By Widiharti, S.Pd. Pembahasan: A. p (benar) B. p (salah)

C. p (benar) D. p (salah) E. bukan pernyataan, sebab belum diketahui nilai kebenarannya. (Jawaban: E) By Widiharti, S.Pd. 2. Dibawah ini yang bukan pernyataan adalah .... A. Jakarta ibukota Republik Indonesia B. Ada bilangan prima yang genap C. Semua bilangan prima ganjil

D. Harga dollar naik semua orang pusing E. Ada segitiga yang jumlah sudutnya tidak 1800 By Widiharti, S.Pd. Pembahasan: A. p (benar) B. p (benar) C. p (salah) D. bukan pernyataan, sebab belum diketahui kebenarannya. E. p (salah)

(Jawaban: D) By Widiharti, S.Pd. B. Pernyataan Berkuantor Kuantor artinya pengukur kuantitas atau jumlah. Sehingga pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang memuat ukuran kuantitas atau jumlah, seperti kata semua, seluruh, setiap, tanpa kecuali, ada, beberapa, dan sebagainya. Kuantor dibagi menjadi dua bagian, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor universal dinotasikan dengan , contohnya: semua, untuk setiap, untuk tiap-tiap,

seluruh, tanpa kecuali. Kuantor eksistensial dinotasikan dengan , contohnya: ada, beberapa, terdapat, atau sekurang-kurangnya satu. By Widiharti, S.Pd. Ingkaran Pernyataan Berkuantor 1. Ingkaran dari pernyataan kerkuantor semua p adalah ada/beberapa/terdapat ~p. Misal: p: semua muslim melaksanakan sholat di masjid Maka ~p: tidak benar bahwa semua muslim melaksanakan sholat di masjid ~p: ada muslim tidak melaksanakan sholat di masjid ~p: beberapa muslim tidak melaksanakan sholat di masjid

2. Ingkaran dari pernyataan berkuantor ada atau terdapat p adalah semua ~p Misal: p: ada muslimah tidak memakai jilbab ~p: tidak benar bahwa ada muslimah tidak memakai jilbab ~p: semua muslimah memakai jilbab By Widiharti, S.Pd. Contoh Soal: 1. Ingkaran dari pernyataan: Semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan adalah ....

A. Semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan B. Tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan C. Ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan D. Ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan E. Tidak ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki rungan By Widiharti, S.Pd. Pembahasan: p: Semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan

~p: tidak benar bahwa semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan ~p: ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan (Jawaban: D) By Widiharti, S.Pd. 2. Ingkaran dari beberapa jenis burung tidak dapat terbang adalah .... A.Beberapa jenis burung dapat terbang B.Semua jenis burung tidak dapat terbang C.Semua jenis burung dapat terbang

D.Ada jenis burung yang tidak dapat terbang E. Ada jenis burung yang dapa terbang By Widiharti, S.Pd. Pembahasan: p: beberapa jenis burung tidak dapat terbang ~p: tidak benar bahwa beberapa jenis burung tidak dapat terbang ~p: semua jenis burung dapat terbang (Jawaban: C) By

Widiharti, S.Pd. C. Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal dengan menggunakan kata penghubung logika, seperti dan, atau, sehingga, jika ... maka ..., ... jika dan hanya jika ..., meskipun, tetapi. Dalam matematika dikenal beberapa pernyataan majemuk, yaitu: 1. Konjungsi Dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung dan sehingga membentuk pernyataan majemuk. Ditulis dengan lambang . 2. Disjungsi Dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung atau sehingga membentuk pernyataan majemuk. Ditulis

dengan lambang . By Widiharti, S.Pd. 3. Implikasi Dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung jika ... maka ... sehingga membentuk pernyataan majemuk. Ditulis dengan lambang . 4. Biimplikasi Dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung ... jika dan hanya jika ... sehingga membentuk pernyataan majemuk. Ditulis dengan lambang .

By Widiharti, S.Pd. 5. Tautologi dan Kontradiksi Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Semua tautologi yang memuat pernyataan implikasi disebut implikasi logis. Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. 6. Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Ditulis dengan lambang . By Widiharti, S.Pd. Berikut adalah pernyataan majemuk yang ekuivalen. By Widiharti, S.Pd.

7. Ingkaran Suatu Pernyataan Majemuk a. Ingkaran konjungsi b. Ingkaran disjungsi c. Ingkaran implikasi d. Ingkaran biimplikasi

By Widiharti, S.Pd. Contoh Soal: Ingkaran pernyataan Jika guru tidak hadir, maka semua siswa bersukaria adalah .... A. Guru hadir dan semua siswa tidak bersukaria B. Guru hadir dan ada beberapa siswa bersukaria C. Guru hadir dan semua siswa bersukaria D. Guru tidak hadir dan ada beberapa siswa tidak bersukaria E. Guru tidak hadir dan semua siswa tidak bersukaria

By Widiharti, S.Pd. Pembahasan: p: guru tidak hadir q: semua siswa bersukaria ~q: ada beberapa siswa tidak bersukaria : jika guru tidak hadir, maka semua siswa bersukaria : guru tidak hadir dan ada beberapa siswa tidak bersukaria By (Jawaban: D)

Widiharti, S.Pd. D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Jika implikasi maka: Konvers: Invers: Kontraposisi: By Widiharti, S.Pd. Contoh Soal:

1. Konvers dari pernyataan: Jika ia rajin maka ia pandai adalah .... A. Jika ia tidak rajin maka ia tidak pandai B. Jika ia tidak rajin maka ia pandai C. Jika ia tidak pandai maka ia tidak rajin D. Jika ia pandai maka ia tidak rajin E. Jika ia pandai maka ia rajin By Widiharti, S.Pd. Pembahasan: p: ia rajin

q: ia pandai : jika ia rajin maka ia pandai Konvers: : jika ia pandai maka ia rajin (Jawaban: E) By Widiharti, S.Pd. 2. Invers dari pernyataan Jika cuaca cerah maka matahari bersinar ialah .... A.Cuaca tidak cerah tetapi matahari bersinar B.Jika cuaca tidak cerah maka matahari tidak bersinar

C.Matahari bersinar tetapi cuaca tidak cerah D.Jika matahari bersinar maka cuaca cerah E. Jika matahari tidak bersinar maka cuaca tidak cerah By Widiharti, S.Pd. Pembahasan: p: cuaca cerah q: matahari bersinar : jika cuaca cerah maka matahari bersinar Invers: : jika cuaca tidak cerah maka matahari tidak bersinar

(Jawaban: B) By Widiharti, S.Pd. 3. Kontraposisi dari pernyataan adalah .... By Widiharti, S.Pd. Pembahasan: Kontraposisi dari adalah

Kontraposisi dari adalah (Jawaban: C) By Widiharti, S.Pd. E. Penarikan Kesimpulan a. Modus Ponen (premis 1) (premis 2) (kesimpulan)

Pernyataan diatas sama dengan pernyataan implikasi berikut: By Widiharti, S.Pd. b. Modus Tollens (premis 1) ~ (premis 2) ~ (kesimpulan) Pernyataan diatas sama dengan pernyataan implikasi berikut:

By Widiharti, S.Pd. c. Silogisme (premis 1) (premis 2) (kesimpulan) Pernyataan diatas sama dengan pernyataan implikasi berikut:

By Widiharti, S.Pd. Contoh Soal: 1. P1: Jika saya sakit, maka saya minum obat P2: Saya sakit Kesimpulan dari pernyataan diatas adalah .... A.Saya minum obat B.Saya tidak minum obat C.Saya pergi ke dokter D.Saya pergi ke rumah sakit

E. Saya tidak sakit By Widiharti, S.Pd. Pembahasan: P1: P2: p Kesimpulan () : saya minum obat (Jawaban: A) By

Widiharti, S.Pd. 2. P1: Jika saya seorang dokter, maka saya mempunyai pasien. P2: Saya tidak mempunyai pasien Kesimpulan dari pernyataan di atas adalah .... A.Saya seorang pasien B.Saya bukan seorang dokter C.Saya bukan seorang pasien D.Saya seorang perawat E.Saya seorang dokter

By Widiharti, S.Pd. Pembahasan: P1: P2: ~q Kesimpulan () : saya bukan seorang dokter (Jawaban: B) By Widiharti, S.Pd.

3. P1: Jika saya pelajar, maka saya berangkat ke sekolah P2: Jika saya berangkat ke sekolah, maka saya belajar Kesimpulan dari pernyataan di atas adalah .... A.Jika saya pelajar, maka saya tidak belajar B.Jika saya pelajar, maka saya tidak berangkat ke sekolah C.Jika saya pelajar, maka saya belajar D.Saya berangkat ke sekolah E.Saya belajar By

Widiharti, S.Pd. Pembahasan: P1: P2: Kesimpulan () : jika saya pelajar, maka saya belajar (Jawaban: C) By Widiharti, S.Pd. Tugas Mandiri

1. Diketahui premis-premis sebagai berikut: P1 : Jika musin hujan tiba maka akan terjadi banjir P2 : Jika terjadi banjir maka banyak warga terserang penyakit Kesimpulan dari premis-premis di atas adalah .... A. Jika tidak terjadi banjir maka hujan tiba B. Jika banyak warga terserang penyakit maka terjadi banjir C. Jika musin hujan tiba maka banyak warga terserang penyakit D. Jika banyak warga terserang penyakit maka musim hujan tiba E. Jika terjadi banjir maka musim hujan tiba By

Widiharti, S.Pd. 2. Kontraposisi dari pernyataan Jika Andi lulusan terbaik maka ia mendapatkan penghargaan adalah .... A. Jika Andi mendapatkan penghargaan maka ia lulusan terbaik B. Jika Andi tidak mendapatkan penghargaan maka ia bukan lulusan terbaik C. Jika Andi bukan lulusan terbaik maka ia tidak mendapatkan penghargaan D. Jika Andi bukan lulusan terbaik maka ia mendapatkan penghargaan E. Jika Andi tidak mendapatkan penghargaan maka ia lulusan terbaik By Widiharti, S.Pd.

3. Ingkaran dari pernyataan Jika semua pengendara tertib, maka jalan raya lancar adalah .... A. Semua pengendara tertib, dan jalan raya lancar B. Semua pengendara tertib, dan jalan raya tidak lancar C. Beberapa pengendara tertib, dan jalan raya lancar D. Sebagian pengendara tidak tertib, walaupun jalan raya lancar E. Ada pengendara yang tidak tertib, walaupun jalan raya lancar By Widiharti, S.Pd.

4. Diketahui premis berikut: Jika Budi rajin belajar, maka ia menjadi pandai Jika Budi menjadi pandai, maka ia lulus ujian Budi tidak lulus ujian Kesimpulan yang sah adalah .... A. Budi menjadi pandai B. Budi rajin belajar C. Budi lulus ujian D. Budi tidak pandai E. Budi tidak rajin belajar

By Widiharti, S.Pd. 5. Premis 1 : jika ia seorang kaya maka ia berpenghasilan banyak Premis 2 : ia berpenghasilan sedikit Kesimpulan yang diperoleh dari kedua premis tersebut adalah .... A. Ia seorang kaya B. Ia seorang yang tidak kaya C. Ia seorang dermawan D. Ia tidak berpenghasilan banyak E. Ia bukan seorang yang miskin

By Widiharti, S.Pd.

Recently Viewed Presentations

  • ChiefExecutive Executive Chief VernonJackson Jackson Vernon PA PA

    ChiefExecutive Executive Chief VernonJackson Jackson Vernon PA PA

    Deputy Chief Executive Jed Pearson Head of Housing Services Bernie McConnell Community Development Officers Barbara Murray (SV) Lisa Fowles (FH) Customer Services Manager Kerry Noon Income Manager (FH based) Fiona Barden (acting) Neighbourhood Services Manager (SV based) Anne Jackson Customer...
  • Standards for Mathematical Practice

    Standards for Mathematical Practice

    Standards for Mathematical Practice. The Standards for Mathematical Practice describe varieties of expertise that mathematics educators at all levels should seek to develop in their students. These practices rest on important "processes and proficiencies" with longstanding importance in mathematics education.
  • Bacterial Classification - Blacksage

    Bacterial Classification - Blacksage

    Bacterial Growth Calculations - Generation Time Time for single cell to double Example: Bacterial Growth Calculations - Generation Time Time for single cell to double Example: Bacterial Growth Measurement of Growth Biomass Viable Counts Total Counts Most Probable Number (MPN)...
  • Gases: Pressure and Manometers Dr. Chu River Dell

    Gases: Pressure and Manometers Dr. Chu River Dell

    Pressure - exercise Answers. Convert 1.5 atm to mmHg [1140 mmHg] Convert 768 mmHg to kPa [102.4 kPa] Convert 235,620 Pa to psi [34.2 psi] Convert 0.23 psi to torr [11.9 torr]
  • COTTON GIN - Council Rock School District

    COTTON GIN - Council Rock School District

    Harriet Beecher Stowe. Harriet Beecher Stowe was born June 14, 1811 in Litchfield, Connecticut. At 21, Stowe moved to Ohio and met fugitive slaves, learning about the cruelties of slavery. Outraged by The New Law Compromise of 1850, including the...
  • APS/DNP meeting, Newport Beach, Oct 24-27, 2012 Collimation

    APS/DNP meeting, Newport Beach, Oct 24-27, 2012 Collimation

    APS/DNP meeting, Newport Beach, Oct 24-27, 2012 Collimation and tagging instrumentation for the GlueX photon beamline Richard Jones Igor Senderovich, Anne-Marie Carroll
  • Concur Calculus Survey - Maa

    Concur Calculus Survey - Maa

    Question 15: Balance. In the teaching of Calculus the question often comes up of maintaining a balance between time spent providing motivational examples and the pressure to cover all the topics in the syllabus. Which of the following statements best...
  • Similes! - Mrs. Phillips' and Mrs. Pittman's Fourth Grade Team

    Similes! - Mrs. Phillips' and Mrs. Pittman's Fourth Grade Team

    The baby's smile was bright like the morning sunshine. Comparing. to. ... Title your Writing journal: "Similes" then pick the 3 sentences on the next slide that contain similes and copy them in your journal. I like orange juice the...