Nonholonomic variational systems - physics.muni.cz

Nonholonomic variational systems - physics.muni.cz

Individuln meze matematickho mylen Jana Musilov stav teoretick fyziky a astrofyziky Prodovdeck fakulta MU Abstrakt Ze zkuenost s vukou matematiky na rznch rovnch vzdlvn a jejm uvnm v praktickch situacch vyplv, e nkter pojmy se mohou jevit jako nepekonateln mez v matematickm mylen. Takov omezen (nkter teba i zkladn matematick operace, trojlenka, logaritmus, rokovn, limita, pravdpodobnost, ) jsou samozejm individuln, stejn jako jejich piny. Mohou bt objektivn (uren vkem, vrozenou dispozic, kvalitou vzdlvn, skutenou obtnost pojm, apod.), ale i subjektivn (nezjem i nzk motivace, pochybnost o potebnosti pojm, pochybnost o vlastn schopnosti problematiku pochopit). Pspvek se zabv specifikac a pklady nkterch z tchto mez na rznch rovnch vzdlvn (pedkoln, zkladn, stedn, tercirn) a monostmi odstrann subjektivnch mez vhodnmi a dan rovni pimenmi zpsoby vuky vetn odpovdajcch uebnch text i pomcek. Osnova prezentace Je matematika neptel? Pro?

skuten obtnost, zpsob vuky, nebo nevhodn osvta ? (ne)zjem, (ne)porozumn, rutina ? Pojmy pedstavujc meze matematickho mylen rove 1: inversn operace, trojlenka (mra), zaokrouhlovn rove 2: logaritmus (potn s mocninami, pevod nsoben na stn), rokovn (posloupnosti), zvislosti (funkce, grafy) rove 3: limita, pravdpodobnost, linearita (mra) obecn Jak se zbavit omezen, neobliby, strachu, vzbudit zjem (formy vuky, uebnice, pomcky) Je matematika neptel? Pro? - I Averze k matematice (i potm) nen vrozen pedkoln vk otzka kolik (je eho, je Ti let, m sourozenc) potn st tla (dv oi, jeden nos, deset prst), resp. vc hry s slicemi (magnetky na lednice, ) dny v tdnu, msce v roce

adresa s slem domu Je matematika neptel? Pro? II Matematika versus humanitn obory - po roce 1989 zplava humanitnch obor atraktivnch mj. i tm, e do t doby nemohly bt rozvjeny Nevhodn osvta - technick pokrok a vdy, kter jej pinej matematika, fyzika, technick obory uvdny jako pina zkzy lidstva (Hiroima, ernobyl a dal pklady) - neporozumn matematice vystavovno na odiv znmmi osobnostmi showbyznysu Mezn pojmy rove 1 - I Zkladn operace, inversn operace koln vk nsobilka, procviovn nsobilky, nsobilka dvou, t, , devti? komutativn operace? odtn jako inversn (opan) operace k stn dlen jako inversn operace k nsoben -

Vstupenka do kina stoj 7 korun, 6 kamard lo do kina, kolik zaplatili? - est kamard za vstupenky do kina zaplatilo 42 korun. Kolik stla Mezn pojmy rove 1 - II Zaokrouhlovn8,000 80,000 93,600 0,000 0,000 0,000 68,468 620,419 720,274 268,698

1 086,790 1 271,545 58,750 584,000 726,336 103,669 543,976 725,896 - je skutenm problmem bez ohledu na vkovou kategorii a rove vzdlvn 153,055 1 305,903 1 527,907 447,771 1 797,083 2 100,528 364,829 423,105 msta 106,657 434,129

522,282 - kolik je 10,0:6,0?40,729 1,67? 1,666666? na displeji 54,417 496,333 580,710 102,412 415,649 486,309 kalkulaky? 36,717 363,948 58,562 240,249 267,737 J 361,733 - lnek v impaktovanm asopise Ohodnocen vsledky celkem - Metodika hodnocen vsledk vzkumu v roce 2004, , 2011 imp Poet Body Body po korekci

Poet Body Body po korekci pocuzn boduzn pufuzn pocjimp bodjimp pufjimp 46,197 1 094,622 1 022,856 10,000 306,127

306,127 231,386 3 312,941 3 140,597 20,960 753,139 753,139 99,358 1 645,447 1 507,642 9,467 190,068 190,068 44,667 1 296,333

1 344,486 0,000 0,000 0,000 50,000 682,000 797,940 0,000 0,000 0,000 6,000 96,364 163,625 0,000

0,000 0,000 Metodika hodnocen VaV 2011 Mezn pojmy rove 1 - II Trojlenka (mra) vechny vkov kategorie (je problmem bez ohledu na vkovou kategorii a rove vzdlvn) Pklad 1: vytovn slueb nklady na teplo uivatel celek nklad 40% dle ploch 71,5 m2 1072,9 m2

224 942,40 60% dle spoteby 954 HA 13 632 HA 337 413,60 38 603,58 562 356,00 562 356,00 nklad Mezn pojmy rove 1 - III Pklad 2: trojlenka pro radiologick asistenty Zl sen vrchn sestry V jedn nejmenovan nemocnici byli zvykl na dodvku ampul s lkem, kter se pidval do infuz. Ampule mly vdy objem V a koncentrace inn ltky v n byla p % objemovch. Personl ml pkaz vrchn sestry dvat do infuze o vslednm objemu W vdy jednu ampuli lku. Jednou dodala lk jin firma a ampule mly objem dvojnsobn,

tj. 2V, koncentrace inn ltky byla tak dvojnsobn. Vrchn sestra pikzala dvat do infuz polovinu obsahu ampule. Co myslte, je to sprvn pkaz?? Mezn pojmy rove 1 - IV Trojlenka jet jednou probuzen (een) oznaen: objemy v cm3 (ml) W vsledn objem infuze, V objem ampule prvn firmy p koncentrace inn ltky v objemovch procentech objem inn ltky U p V 100 U pV W W 2 pV p 2 p q 2q W pedepsan koncentrace inn ltky v infuzi q 100 Koncentrace inn ltky podle

novho pkazu Zvr: Snad nebyla dvojnsobn dvka smrteln. een lohy nzorn V W-V W V V V W-V W Mezn pojmy rove 2 - I Logaritmus (potn s mocninami) stedn kola 3 1 1 1 1000 103 ,

10 3 1000 10 10 2 3 1 1 1 2 3 6 64 8 4 2 8 4 2 2 41/2 81/3 161/4 321/5 641/6 ..... a 3 6 a 1 1

1 A Z a , Z a A Z Z a Z a b a b a b a b b a Z Z Z , b Z , Z Z Z ab Z nsoben mocnin stn exponent umocovn mocnin nsoben exponent Mezn pojmy rove 2 - II 3 Logaritmus (definice) 1 1000 103 , log10 1000 3, log 1 1000 3 stedn kola 10 10 3

1 1 1 1 10 3 , log 1 3, log10 3 1000 1000 1000 10 10 1 A Z B Z log Z A log 1 Z B ( Z 0, Z 1) 1 1 B, log Z log 1 A B A A Z

1 Z 0 , Z Z 1 , log Z 1 0, log Z Z 1 Logaritmus sla A pi (kladnm a rznm od jedn) zkladu Z je exponent (mocnitel), na kter je teba mocnit zklad, abychom dostali slo A. Mezn pojmy rove 2 - III Logaritmus (vlastnosti) stedn kola A Z a , B Z b , AB Z a Z b Z a b a log Z A, b log Z B a b log Z AB log Z AB log Z A log Z B A log Z log Z A log Z B B A Z m a r Z ar , log Z Am ar r log Z A trik: A Z logZ A Y logY A , log Z A log X Z logY A log X Y

Pro to dl problmy? Byly zavreny nzorn pomcky pevdjc nsoben na stn, zastnily je kalkulaky. Mezn pojmy rove 2 - IV Vdci o logaritmovn - V. Obelo: O logarithmicko- grafickm potn I, II, III. asopis pro pstovn mathematiky a fysiky 45 (1916), 1 (81-99), 2 (241-283), 3 (475-486). - V. Pleskot: O dvojitm logaritmickm papru. asopis pro pstovn mathematiky a fysiky 64 (1935), 3 (R33-R39) Pomcky pro logaritmovn - logaritmick pravtko - logaritmick papry - logaritmick triky Mezn pojmy rove 2 - V Vdci o logaritmovn Mezn pojmy rove 2 - VI stupnice intenzity a hladiny intenzity aneb ui um logaritmovat 10-11 10-9 10-12 10-7 10-10 10-8

10-5 10-6 10-3 10-4 10-1 10-2 101 100 intenzita W m-2 hlasitost B 0 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 I1 10 3 I 7 104 , L1 L2 4 , log10 1 4 I 2 10 I2 L 10 log I1 I , L 10 log I2 I0 Aritmetick a geometrick narstn hladina intenzity zvuku (hlasitost) (II) jednotka hlasitosti L 1 decibel Mezn pojmy rove 2 - VII Logaritmick a semilogaritmick papry x y Z x

x y = 5 exponenciln funkci zobraz jako linern log y 1 y = 10x x log Z log Z Y y = 100x log y = 1, y = 10 log y = 2 y = 100 log y = 3 y = 1000 log y Mezn pojmy rove 2 - VIII Logaritmick triky pr se na

logaritmickm pravtku ned stat Mezn pojmy rove 2 - IX rokovn - umme si spotat roky? neumme t z toho banky ast chyba - pjka 100 000 K, ron rok 4% - za rok dlume (nesplcme-li) 104 000 K? - banka ro po mscch, ale msn rok je jen (4/12)%, vyjde to tedy nastejno - kde je chyba: v neznalosti sloenho rokovn - a pi pravidelnm splcen si u neumme vypotat vbec nic Poetnice pro mansk koly chlapeck i dv III. Sloili: J. Horika a J. Nepor. Schvleno vnosem C.K. Ministerstva osvty a vyuovn ze dne 11. z 1906 . 22.580. Cena 1K6h. Nkladem J. Otty v Praze 1907. Mezn pojmy rove 2 - X Bankovn kalkultory na Internetu - hypotky typ ve

pjky ron rok % msn spltka splatno st fixace celkem uette 1 4 000 000 3,59 23 384 20 let 5 let

508 080 2 4 000 000 4,39 25 069 20 let 1 rok 0 3 4 000 000 4,59 neuveden a 20 let bez fixace

0 10 let bez fixace 0 Co mlo 4 by 4 000 000 bt 4,59uvedeno 41 629 typ ve pjky ron rok % msn spltka

splatno st fixace celkem zaplatt e 1 4 000 000 3,59 23 384 240 ms 5 let 5 612 160 2 4 000 000 4,39

25 069 240 ms 1 rok 6 016 560 bez 6 120 Mezn pojmy rove 2 - XI Vpoet je opravdu jednoduch sta geometrick posloupnost h ve pjky, p msn rok (procenta/100), s msn spltka konec msce dlun stka prvnho druhho tetho h(1 p) s

[ h(1 p) s ](1 p) s {[ h(1 p) s](1 p) s}(1 p) s n-tho h(1 p ) n s(1 p) n 1 s(1 p) s n n po n mscch d (h) h(1 p) s (1 p) k 1 k1 s h (1 p) n s p Mezn pojmy rove 2 a 3 - I Funkn zvislosti - v prod vechno zvis na ase a vtinou i na poloze v prostoru

Proda ns informuje o zmnch - proda nepedkld sv zkony v hotovm tvaru, ale ve form zkonitost tkajcch se zmn Zkladn zkony tkajc se zmn jsou linern - rozpad radioaktivnch jader - absorpce rentgenovho zen v ltce Kdo vechno potebuje znt tyto zkony? Batesonv pokus se bou rychl zahvn ndoby s vodou a bou: ba zmnu pozn a vysko ? pomal zahvn ndoby s vodou a bou: ba zmnu nepozn a uva se Co jsou to funkce ? Reln funkce jedn reln promnn podnt zvukov vlna odezva do mozku (vjem) nezvisle promnn

( x intenzita zvuku) zvisle promnn ( y hlasitost, y = f (x)) funkn pedpis f I I y f ( x), x , y L, L 10 log I0 I0 Jak by mlo vypadat tlumen intenzity se tvercem tlouky ? I(x)=10 I0 I0 I(x) I0 I ( x ) K 2 x x I ( x) K 0

I0 x2 I0 (1 x ) 2 I I ( x) 0 2 1 x I ( x) x I(x)= I0 1m dvee 2x1x1 m I0 I ( x) (1 x ) 2 Pb, = 11 800 kg m-3 I0 m = 23,6 t I ( x) 1 x2 A co teprve zstra ? x

Vsuvka funkce nkolika promnnch III skuten rentgenov potaov tomogram tomogram bin dutiny msto barvy jsou hodnoty hustoty odstupovny odstny edi Vsuvka funkce nkolika promnnch II Pklad funkce dvou promnnch hustota tkn v pomyslnm ezu tlem (zviditelnn zobrazenm CT) w 1 ( x 2 y 2 ) (x,y) souadnice v rovin ezu tlem y x x y barva odpovd jistmu rozmez funknch hodnot w,

tj. hodnot hustoty tkn Mezn pojmy rove 2 a 3 - II ten graf - vyznme se v grafickch prezentacch zvislost? - jak tento graf interpretovat? co je na nm divn? dokeme urit tvar drhy letadla v prostoru? Elementrn funkce - I Polynomy (stupn n s relnmi koeficienty) y an x n an 1 x n 1 a2 x 2 a1 x a0 , a0 ,..., an n = 1 linern funkce y = ax+b n = 2 kvadratick funkce y = ax2 + bx + c y = 4x + 1 y = 4x2 + 2x + 3

y = 2x5 + 3x3 2x + 1 Elementrn funkce - II Racionln lomen funkce n n 1 2 an x an 1 x a2 x a1 x a0 y , m m 1 2 bm x bm 1 x b2 x b1 x b0 n = 0, m = 1 nepm mra y = a (x c)1 (1) (2) 1 x 1 3x 2 8 x 4 (2) y 2 x 2x 1 (1) y

Elementrn funkce III Goniometrick funkce sin x, cos x, tan x, cotan x Pipomete si dosud uveden vlastnosti tchto funkc. Goniometrick funkce obecnho linernho argumentu A = ax+b cos x, cos( x 3 ) cos x, cos 2x cos x, cos 2x , cos 2 x Elementrn funkce - IV Exponenciln a logaritmick funkce Umocnn pevnho zkladu na hodnotu x a inverzn operace y z x , x log z y , z 0, z 1 x x 0,5 , 2 , 3 x log 0,5 x, log 2 x, log 3 x y=1 x=1

x 10 , log x Citlivost ucha k frekvencm W m-2 Mezn pojmy rove 2 a 3 - III Pravdpodobnost - je problmem na vech rovnch a hlavn v ivot - kdyby lid rozumli pojmu pravdpodobnost, nikdy by neszeli sportku, ale tak by nebrali vn pedpov poas Pravdpodobnost vhry ve Sportce poet ppad pznivch p poet ppad monch 1 43! 6! 720 p 7 10 8 7 10 6 % 49! 49 48 47 46 45 44

49 6 Pravdpodobnost dlouhodob pedpovdi poas 60% Mezn pojmy rove 3 - I Limita - nzorn vysvtlen na konkrtnch pkladech vetn numerick pedstavy (nula dlena nulou, ) - epsilon-deltov definice, pklady, protipklady, grafick prezentace, negace (kdy slo L nen limitou funkce v danm bod), Derivace - smrnice teny ke grafu funkce - rychlost tlesa (numerick ukzka limitnho pechodu od prmrn rychlosti k okamit) Integrl - plocha pod grafem Jak se dl nula nulou Gf 2x2 6x 4

f ( x) , D f \{1} x 1 f ( x) 2 x 4 pro x D f y 4 Pokus o dlen nulou 2 x 1 1 2 x 1,200 1,100 1,050 1,020 1,110

1,005 1,002 1,001 f(x) 1,600 1,800 1,900 1,960 1,980 1,990 1,996 1,998 x 0,800

0,900 0,950 0,980 0,990 0,995 0,998 0,999 f(x) 2,400 2,200 2,100 2,040 2,020 2,010 2,004

2,002 3 4 Co si myslte o monosti dlen nulou? Jde to provst, nebo se tomu lze za uritch podmnek piblit? Problm plochy dlen D intervalu [ a, b] urit plochu P y pod grafem a x0 x1 xn b norma dlen: (D) min{xi 1 xi | i 0,1, , n} n P S ( D ) f (i )( xi 1 xi ) i 0 i a xi x

xi+1 b b lim F (b) F (a ) f ( x ) dx ( D ) 0 urit integrl a Mezn pojmy rove 3 - II Znovu mra linearita ve dvou a tech rozmrech - vektory, vektorov prostory - linern zvislost a nezvislost systmu vektor - linern vztahy mezi fyziklnmi veliinami (moment hybnosti a hlov rychlost moment setrvanosti, indukce a intenzita elektrickho pole dielektrick permitivita, Pro je linern algebra pro studenty obtn? - vcerozmrn linearita, obtnost 1

k zobecnn linern a1 ak 0 Vn zvislosti a nezvislosti vektor, bze Projekt Matematika s chut I Z mdi 15. 2. 2012, Praha, denik.cz, K. Perknerov - Do kol pichz projekt Matematika s chut. - Garantuj ho pedn esk osobnosti. - U se na to nememe dvat. Znalosti dt klesaj, zjem o matematiku se limitn bl nule, jsme na tom nejh ze vech vysplch zem. - Tohle si ekly vynikajc mozky esk vdy i prmyslu a vymyslely projekt Matematika s chut. Projekt Matematika s chut- II

Cle - Projekt je uvlivou reakc na prokzan zhoren vsledk povinnho vzdlvn v matematice i na doloen velmi negativn postoje eskch k k jej vuce. - K pinm pat plin spolhn kol na to, e km pomou rodie, pedasn abstrakce ve vuce a pedevm skutenost, e bn kola se sice sna pedat km adu poznatk, ovem metody vuky ignoruj dovednosti, kter jsou potebn k jejich zskvn. - Vuka je zamena spe na reprodukci a imitaci ne na tvoivost ka a na rozvoj jeho intelektu a osobnosti. Objevovat, klst si otzky a Projekt Matematika s chut III Odborn realizan tm - RNDr. Dana Strakov, Ph.D., MFF UK (fyzika), nyn manaersk a poradensk funkce (poradkyn ministr kolstv) - Ing. Tom Jelnek, VUT, CERGE-EI nedokonil, manaersk funkce - RNDr. Oldich Botlk, CSc., MFF UK (matematika), nyn osoba samostatn vdlen inn, soukrom projekt KALIBRO - RNDr. David Souek, MFF UK (matematika, teorie stroj), nyn osoba samostatn vdlen inn, KALIBRO, prce pro MMT, PR,

- Simona Weidnerov, vkonn editelka ISEA, spoluautorka Bl knihy, reformy, Vcnho zmru zkona o finann pomoci studentm - Prof. PhDr. Petr Matj, CSc., FF UK (sociologie) profesura MU, Projekt Matematika s chut IV Tdn projekty - ukzka - Voda: Svtov vodn zdroje se zmenuj, cena vody stle roste. Sl tak tlak na spory a vbec na lep hospodaen s vodou. V rmci projektu vyuijeme jednoduchou matematiku, abychom si posvtili na to, jakjsme na tom u ns: kde vodou pltvme a jak s n meme lpe hospodait. - Reklama kolem ns: Na lovka dajn zato nkolik tisc reklamnch sdlen denn. Jakkoliv se toto slo zd neuviteln, me si je kad snadno ovit.Prost potn reklamnch sdlen pak Projekt Matematika s chut V Tdn projekty dal tmata - Pohyb (tachometry) - Srovnvn (Finannk srovnv vnosnost rznch investic. Zkaznk hled vrobky s nejlepm pomrem cena/vkon. Statik pot sly psobc na konstrukci, ) - Meteorologie (amatrsk meteorologie, srovnvn dat z

Internetu) - Kniha rekord - Hry taktika a strategie - Energetika, obnoviteln zdroje (Analyzujeme-li politick proklamace na toto tma za pouit jednoduch matematiky, nalezneme zsadn rozpory) Projekt Matematika s chut VI Jet jednou z mdi - titulky - Hrav matematika se firmm lb, daly na ni u ti miliony korun. - Recept podnikatel: penzi podpo dobr npady uitel. - Stovka pedagog bude uit matematiku jinak. Lep vuku zaplat podnikatel. - Matematika? Dti bav trpaslci. - Projekt Matematika s chut rozhovor s Petrem Matj. - Rozhovor s Davidem Soukem. Literatura I V. Obelo: O logarithmicko- grafickm potn I, II, III. asopis pro pstovn mathematiky a fysiky 45 (1916), 1 (81-99), 2 (241-283), 3 (475-486). V. Pleskot: O dvojitm logaritmickm papru. asopis pro pstovn mathematiky a fysiky 64 (1935), 3 (R33-R39) Poetnice pro mansk koly chlapeck i dvIII.

Sloili: J. Horika a J. Nepor. Schvleno vnosem C.K. Ministerstva osvty a vyuovn ze dne 11. z 1906 . 22.580. Cena 1K6h. Nkladem J. Otty v Praze 1907. Literatura II J. Musilov, P. Musilov: Matematika pro porozumn i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (2xx s.), 2009 (33X s.). J. Musilov, P. Musilov: Matematika pro porozumn i praxi II. VUTIUM, Brno 2012 (699 s.).

Recently Viewed Presentations

  • Classroom Research: Vocabulary Instruction

    Classroom Research: Vocabulary Instruction

    *Four words were chosen from Andrew's Loose Tooth. *During reading the "child friendly" definitions were delivered to the students for all of the selected words. Reached- stretched out his arm to get something. Incredible- hard to believe. Extended instruction given...
  • Los Alamitos Unified School District Middle School HONORS

    Los Alamitos Unified School District Middle School HONORS

    Arial MS Pゴシック Franklin Gothic Book Wingdings 2 ヒラギノ角ゴ Pro W3 American Typewriter Big Caslon Wingdings Baskerville SemiBold Baskerville Old Face Technic 1_Technic 2_Technic 3_Technic 4_Technic 5_Technic Microsoft Office Word 97 - 2003 Document Document Microsoft Word 97 - 2004...
  • TelePresence as a Service B E YO N

    TelePresence as a Service B E YO N

    More importantly, this capability - unique to TeleSpace - also ensures seamless, uninterrupted cloud service delivery since we have access to multiple Tier 1 and 2 carriers and can alternate between them as a means of reacting to, or recovering...
  • Acids and Bases - SharpSchool

    Acids and Bases - SharpSchool

    Acids are electron pair acceptors. Bases are electron pair donors. B F F F :N H H H Lewis Acids and Bases Boron triflouride wants more electrons. B F F F :N H H H Lewis Acids and Bases Boron...
  • Circle I: Limbo - Sheboygan Falls

    Circle I: Limbo - Sheboygan Falls

    In this tercet, Dante refers to the virtuous pagan souls—poets, heroes, and philosophers—that dwell in limbo, the first circle of Hell. He describes them as being "gathered at the edge of light." "Gathered" implies that the souls function as a...
  • Knowledge Translation Basics - MSFHR

    Knowledge Translation Basics - MSFHR

    Synthesis - the contextualization and integration of research findings of individual research studies within the larger body of knowledge on the topic . E.g., practice guidelines. result from a consensus conference or expert panel. realist synthesis. narrative synthesis. systematic or...
  • New Compensation Guidelines - Transportation.org

    New Compensation Guidelines - Transportation.org

    Next, the cost can't be unallowable under other FAR sections. For example, personal use of company vehicles is an unallowable cost, and would continue to be unallowable even if it is included in compensation. Finally, this FAR section says that...
  • Making the Right Career Choice Careers and the

    Making the Right Career Choice Careers and the

    Transferable skills. Skills that apply to or transfer to a variety of settings. Ex: solid oral and listening abilities, leadership skills, critical thinking, and problem solving. See text pp. 287-288. One of the many important purposes and outcomes of your...