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ALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL ERNESTO RENE LUCIOTTO CHACON REGISTRO: 12310233 20/05/2013 TAREA 12 HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL El origen del clculo integral se remonta a la poca de Arqumedes (287-212

a.C.), matemtico griego de la antigedad, que obtuvo resultados tan importantes como el valor del rea encerrada por un segmento parablico. La derivada apareci veinte siglos despus para resolver otros problemas que en principio no tenan nada en comn con el clculo integral. El descubrimiento ms importante del clculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz) es la ntima relacin entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexin entre derivada e integral (teorema de Barrow), el clculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El clculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis

y Newton entre otros. As en 1711 Newton introdujo la frmula de interpolacin de diferencias finitas de una funcin f(x); frmula extendida por Taylor al caso de infinitos trminos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el clculo diferencial y el clculo en diferencias finitas. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO El teorema fundamental del clculo consiste (intuitivamente) en la afirmacin de que la derivacin e integracin de una funcin son operaciones inversas. Esto significa que toda funcin continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a

ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemticas denominada anlisis matemtico o clculo. DEFINICON DE LA INTEGRAL DEFINIDA La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las reas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funcin f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la funcin entre los puntos a y b al rea de la porcin del plano que est limitada por la funcin, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la funcin entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como: PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA La integral definida cumple las siguientes propiedades: Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Cuando la funcin f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la funcin es menor que cero, su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin (es decir, se puede sacar la constante de la integral). Al permutar los lmites de una integral, sta cambia de signo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integracin a trozos): Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) g (x), se verifica que: DEFINICON DE LA INTEGRAL INDEFINIDA Dada una funcin f (x), se dice que la funcin F (x) es primitiva de ella si se

verifica que F (x) = f (x). La operacin consistente en obtener la primitiva de una funcin dada se denomina integracin, que es la inversa de la derivacin. De esta definicin se desprende que la funcin f (x) posee infinitas primitivas, ya que si F (x) es primhtiva de f (x), tambin lo ser cualquier otra funcin definida como G (x) = F (x) + C, siendo C un valor constante. El conjunto de todas las primitivas de una funcin f (x) dada se denomina integral indefinida de la funcin, y se denota genricamente como: PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Aplicando las propiedades de la derivacin (ver t43), es posible determinar algunas propiedades comunes de la integracin. Las siguientes propiedades de linealidad sirven para descomponer integrales complicadas en otras ms sencillas: La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones es igual a la suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas. La integral del producto de una constante por una funcin es igual al producto de la constante por la integral de la funcin. SUMA DE RIEMANN

En matemticas, la suma de Riemann es un mtodo de integracin numrica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el rea bajo una curva, este mtodo es muy til cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Clculo. Estas sumas toman su nombre del matemtico alemn Bernhard Riemann. La suma de Riemann consiste bsicamente en trazar un nmero finito de rectangulos dentro de un rea irregular, calcular el rea de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este mtodo de integracin numrica es que al sumar las reas se obtiene un margen de error muy grande.

TEOREMA DE EXISTENCIA Sea una funcin real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: El valor f se conoce como el valor medio de la funcin f (x) en el intervalo [a,b]. Quiz sea interesante hacer varias observaciones: 1) El punto c puede no ser nico. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad. 2) El valor medio de la funcin f (x) no se refiere a la tasa de variacin media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

3) El clculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el clculo de una integral definida. Dicho clculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando mtodos numricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integracin sencilla. FUNCION PRIMITIVA Funcin primitiva o antiderivada de una funcin dada f(x), es otra funcin F(x) cuya derivada es la funcin dada.

F'(x) = f(x) Si una funcin f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferencindose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) METODOS DE INTEGRACION Integracin directa En ocasiones es posible aplicar la relacin dada por el teorema fundamental del clculo de forma directa. Esto es, si se conoce de

antemano una funcin cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal funcin es el resultado de la antiderivada. La integracin directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas. Funciones analticas El problema de integracin es trivial si se consideran funciones analticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que: METODOS DE INTEGRACION

El mtodo de integracin por sustitucin o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fcilmente su primitiva. Este mtodo realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivacin. El mtodo de integracin por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema: Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolucin

de la integral. . Un buen orden para escoger la u segn la funcin es este: 1. Trigonomtrica Inversa 2. Logartmica 3. Algebraica o polinmica 4. Trigonomtrica 5. Exponencial

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